计算机中的数字

这次，我们来看一下数字在计算机中是如何存储的。

在开始前，让我们先来看一个简单程序。

#include <stdio.h>

int main(int argc, char* argv[]) {
	int i = 1;
	float *p2 = (float *)&i;
	printf("%.20g\n", *p2);
	printf("%d\n", 0.4 + 0.2 == 0.6);
	return 0;
}

有些意外？

进制

我想对于进制不需要更多解释了，列举一些计算机中经常涉及的进制。

如何在不同进制间转换？看个例子。

	Q:
		26(D) = ?(B)
	A:
	            26 | 13 | 6 | 3 | 1
	        /   2
	remainder    0 |  1 | 0 | 1 | 1
		26(D) = 11010(B)
	``````
	Q:
		0.8125(D) = ?(B)
	A:
	fractional  0.8125 | 0.625 | 0.25 | 0.5 | 0
	         *  2
	integer              1     | 1    | 0   | 1
		0.8125(D) = 0.1101(B)

数字码

计算机天然地使用二进制来表示数字，或者说，是用一系列的bit位来表示数字，通常用32位存储整数。

直接用数字的二进制表示再加上一bit表示符号位，0表示正数，1表示负数，这种方式被称为‘原码（original code）’表示法。原码最容易理解，但需要根据符号位不同来决定做加法还是减法，而且0有两种格式，‘0 0..0’以及‘1 0..0’。

为了简便计算，人们定义了另一种称为‘反码（anti code）’或‘一补码’的表示法，如果是负数，就将原码除符号位以外的所有bit反转，否则，与原码相同。符号位也可以直接参加运算，同时，可以用加法代替减法运算，比如。

	  1 1110111 (-8)             0 0001000 (+8)
	+ 0 0001101 (+13)          + 0 0001101 (+13)
	------------------          ------------------
	1 0 0000100                0 0 0010101
	+         1 (carry)        +         0 (carry)
	------------------          ------------------
	  0 0000101 (+5)             0 0010101 (+21)

不过，反码还是存在两种0的格式，+0的‘0 0..0’，还有-0的‘1 1..1’。‘二补码’，简称‘补码（complement code）’，成了最后的赢家，成为目前整数的标准表示。区别就是，负数表示为反码的负数再加1，其余相同，‘1 1..1’变为-1，而不是-0，相比反码，可以多表示一个‘-2^(bit-1)’的数字，也不需要最后再加上进位的步骤。

实际上，-8的补码111111000 = 244 和+8的补码000001000 = 8对于模256同余，这就是为什么可以只用简单的加法器和补码器来实现减法的原因。

	  1 1111000 (-8)             0 0001000 (+8)
	+ 0 0001101 (+13)          + 0 0001101 (+13)
	------------------          ------------------
	1 0 0000101 (+5)           0 0 0010101 (+21)

‘移码（shift code, bias code）’, 在下面介绍到的IEEE.754标准中有应用，是给数字本身的二进制值加上2^(bit-1)的位移来避免负数形式。

字节序

我们已经知道了不同的数字码表示，但当存储到字节中时，根据字节顺序的不同，还有两种不同的格式。如果把最高有效数字放在地址最低的字节，则成为‘大头（big-endian）’排序，反之，则是‘小头（little-endian）’排序，名称来源于《格列佛游记》一书。 例如，数字‘0xabcd’，如果是大头排序的话，存储的字节从低到高是从‘a’到‘d’，反之则是从‘d’到‘a’。目前绝大多数的CPU，像Intel、AMD都是使用小头排序。

浮点数

我们已经知道计算机如何用补码来存储整数，那小数呢？最简单的方法就是预先规定小数点的位置，因此称为‘定点’表示法，比如，如果我们定义小数点在第三bit，即0~2bit表示小数部分，则0 0010 110 = 2.75。

定点数表示法相对简单，但是可表示数字的范围比相同bit位的整数还要小，为了能表示更多的数字以及更大的范围，通常都用‘浮点’表示法来表示小数，也就是说，小数点是浮动的。

规格化

一个数字可以有无数的表示形式，例如，100110可以表示为110.11 * 2^3，或者1.1011 * 2^5，将数字转化为整数部分只有一位数字的表示方法，称为‘规格化（Normalization）’。

与‘规格化’相反，‘非规格化（Denormalization）’没有指数部分。

IEEE.754

所有现代的计算机都遵循IEEE 754标准来存储浮点数。格式表示如下。

由上表可见，浮点数由三部分组成，符号位（sign），指数部分（exponent）和小数部分（fraction），我们将使用小写字母‘s’，‘e’和‘f’来表示各个部分的bit长度，‘S’，‘E’和‘F’来表示值。

指数部分用移码表示，指数 = E - bias = E - (2^(e-1) - 1)，对于32位，位移 = 2^(8-1) - 1 = 127，指数 = -127 ~ 128。

为表示更多的精度，同时应用了规格化及非规格化的形式。

规格化的数字可以有更多的有效位，而且，所有规格化数字整数部分都是1，因此可以默认省略，可得出公式float = -1^S * 1.F * 2^(E - (2^(e-1) - 1))。

以32位为例子，如果我们只使用规格化数字，比0大的最小数字绝对值是1.0..00 * 2^-127，次之是1.0..01 * 2^-127，最小绝对值和0之间的空距比之与次小值的差距2^-(127+23) = 2^-150大的多。更直观的可以看下图。

       ┌─── 2^-149 ───┐ ┌ 2^-150 ┐                         ┌ 2^-150 ┐ ┌──────────── 2^-127 ────────────┐
1.0..1*2^-126, 1.0..0*2^-126, 1.1..1*2^-127, ..., 1.0..1*2^-127, 1.0..0*2^-127,                        0

这被称为‘突然下溢’，因此对于绝对值小于2^(e-1) - 2的数字，IEEE使用了非规格化的表示方式，并且指数的位移部分+1，来实现所谓的‘渐进下溢’。

       ┌─── 2^-148 ───┐                     ┌ 2^-149 ┐     ┌ 2^-149 ┐                       ┌ 2^-149 ┐
1.0..1*2^-125, 1.0..0*2^-125, ..., 1.0..1*2^-126, 1.0..0*2^-126, 0.1..1*2^-126, ..., 0.0..1*2^-126,  0

IEEE 754浮点表示的结构表。

现在，让我们回头看看开头的例子。

综上，我们可以得出，1的整数字节形式为‘00000000 00000000 00000000 00000001’，同样的字节在浮点数中表示2^-149。

0.2 + 0.4的结果表示为字节‘00111111 00011001 10011001 10011010’，实际上，这就是0.6的浮点数表示，问题出在精度上，事实上，0.6的二进制表示是一个无限循环小数，‘0.100[1100]*’，是不可能被计算机精确表示的，根据不同精度，‘00000000 00000000 00000000 00000001’表示的结果可能是0.6000000000000001或0.60000000000000008，0.2和0.4同理。

可以用这个小工具来转换不同进制的数字及数字码表示。